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Comment calculer l’aire d’un triangle sans connaître sa hauteur ?

L’aire S de la surface d’un triangle quelconque dont la hauteur est h et la longueur de la base est a se calcule à partir de la formule de base suivante :

S = ah / 2

Dans le cas de triangles particuliers, les formules de base permettent de calculer leur aire sans connaître leur hauteur h :

• Aire d’un triangle rectangle
• Aire d’un triangle isocèle
• Aire d’un triangle équilatéral

L’aire d’un triangle quelconque peut être calculée sans connaître sa hauteur à partir de la formule de Héron (du nom du mathématicien grec Héron d’Alexandrie) ou de la loi des sinus.

Soit un triangle quelconque défini par trois points A, B et C :

Les angles du triangle sont définis comme suit :

• Angle en A : α
• Angle en B : β
• Angle en C : γ

Calcul de l’aire d’un triangle avec la formule de Héron

Le périmètre P d’un triangle est défini par la formule :

P = a + b + c

La formule de Héron permet de calculer l’aire d’un triangle quelconque à partir de son demi-périmètre p :

p = P / 2

Calcul de l’aire d’un triangle à partir de la loi des sinus

La loi des sinus spécifie que dans un triangle :

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

Si on connaît la valeur d’un angle et la longueur des deux côtés adjacents, l’aire S du triangle peut se calculer à partir de la formule :

S = ab.sin (γ) / 2 =  bc.sin(α) / = ac.sin(β)

Si on connaît la longueur d’un côté et la mesure des deux angles adjacents, l’aire S du triangle peut se calculer à partir de la formule :

S = a² sin(β) sin (γ) / (2 sin(β + γ))