c² = a² + b²

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Les deux autres côtés sont appelés cathètes.

Comme le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, l’hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle.

La réciproque du théorème de Pythagore est également vraie : si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand des côtés est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle. Le côté le plus long de ce triangle rectangle est son hypoténuse, et l’angle opposé est un angle droit.

Le théorème de Pythagore permet de calculer par exemple la diagonale d’un rectangle ou d’un carré, il est aussi à la base du calcul de l’aire d’un triangle.

Si le rapport entre la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle et les longueurs des deux autres côté semble être déjà connue par les  babyloniens vers 1700 av J.C, c’est les principes établis par le philosophe grec Pythagore ( ≈ 580 – †495 av J.C) qui permettront d’en faire la démonstration. En plus des mathématiques, Pythagore s’intéresse à la philosophie, la musique, l’éthique, la politique, l’astronomie (il sera le premier à appeler le ciel cosmos et à dire que la terre est ronde).

Exemple

Soit un triangle rectangle dont la longueur de l’hypoténuse c est de 5 cm. Les deux autres côtés ont des longueurs a et b de respectivement 3 cm et 4 cm.

c² = a² + b² => 5² = 3² + 4² = 25 cm

Les dimensions 3-4-5 correspondent à la plus petite mesure d’un triangle rectangle avec des nombres entiers pour longueurs des côtés. Elles sont à la base d’une corde à treize noeuds utilisée jusqu’à la fin du moyen âge et qui permettait aux géomètres de tracer des triangles rectangles.

A lire aussi :

• Aire et surface d’un triangle quelconque
• Aire et surface d’un triangle rectangle
• Volume d’un parallélépipède rectangle
• Aire d’un rectangle
• Périmètre d’un rectangle

• Un are est égal à 100 m², soit l’équivalent d’un carré de 10 mètres de côté.
• Un hectare est égal à 100 ares ou encore 10 000 m², soit l’équivalent d’un carré de 100 mètres de côté.

Ares, hectares et m² : correspondances et table de conversion

La conversion et la correspondance entre mètres carrés, kilomètres carrés, ares et hectares est la suivante :

Exemples de surfaces de terrains en ares et hectares

Quelques exemples pour se représenter combien représente la surface d’un terrain exprimée en ares ou en hectares :

• Un terrain de 5 ares représente une surface de 500 m² soit par exemple un terrain de 10 mètres de large sur 50 mètres de long ou encore un carré de d’environ 22 mètres de côté.
• Un terrain de volley mesure 18 mètres de long pour 9 mètres de large, soit 162 m² ou 1,62 ares.
• Un terrain de rugby mesure au maximum 120 mètres de long pour une largeur de 70 mètres, soit environ un hectare.
• Une forêt de 10 hectares représente un terrain d’un kilomètre de long sur 100 mètres de large.
• Un terrain d’un kilomètre carré correspond à une surface de 100 hectares.

A lire aussi :

• Aire d’un carré
• Aire d’un rectangle
• Unités d’aire et de superficie
• Aire et surface d’un triangle quelconque
• Surface et cercle : aire d’un disque

V  = π /4 x d ² x h

Ou en considérant le rayon r du cylindre plutôt que son diamètre :

V = π  x r ² x h

Principe de calcul du volume d’un cylindre

Le volume d’un objet mesure son extension dans l’espace dans les trois directions en même temps.

Pour calculer le volume d’un cylindre, on multiplie donc l’aire du disque qui forme sa base (délimitée par le cercle formé par le diamètre du cylindre) par sa hauteur.

L’aire A du disque qui forme la base du cylindre est égal à :

A = π /4 x d ²

En multipliant l’aire A de ce disque par la hauteur h du cylindre on obtient dont le volume V :

V = A x h = π /4 x d ² x h

Remarque : dans le calcul le diamètre d (ou le rayon r) et la hauteur h du cylindre doivent être exprimés dans la même unité de longueur. Le volume V sera alors exprimé dans cette même unité au cube.

Exemple

Soit un cylindre de diamètre d = 2 cm et de hauteur h = 3 cm. Le volume V de ce cylindre est égal à :

V = π / 4 x d ² x h ≈ 3,14 / 4 x 2² x 3 ≈ 9,42 cm³

A lire aussi :

• Surface et cercle : aire d’un disque
• Le nombre Pi
• Périmètre – circonférence d’un cercle

A = L x h / 2

Principe de calcul de l’aire d’un triangle quelconque

En traçant une hauteur d’un triangle quelconque (droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet) , on décompose ce triangle en deux triangles rectangles.

L’aire de la surface du triangle quelconque est égale à la somme des aires des deux triangles rectangles, soit en reprenant le principe du calcul de l’aire d’un triangle rectangle :

A = h x L1 / 2 + h x L2 / 2

Soit en factorisant par h / 2 :

A = (L1 + L2) x h / 2

Et comme L1 + L2 = L :

A = L x h / 2

Remarque : la hauteur du triangle peut être calculée à partir du théorème de Pythagore si l’on connaît L1 ou L2 ainsi que les longueurs des côtés du triangle quelconque.

Exemple 1

Soit un triangle de hauteur h = 4 cm et dont la longueur de la base est de L = 7 cm. L’aire A de ce triangle est égale à :

A = L x h / 2 = 7 x 4 / 2 = 14 cm²

Exemple 2

Soit un triangle de hauteur h = 4 cm et dont la longueur de la base est de L = 5 cm. L’aire A de ce triangle est égale à :

A = L x h / 2 = 5 x 4 / 2 = 10 cm²

Remarque : dans le cas d’un triangle obtus, obtusangle ou ambligone (un des angles du triangle est supérieur à 90°), la formule s’applique également. Simplement dans le principe expliqué ci-dessus, L1 aurait une valeur négative et L2 une valeur supérieure à L. Dans le principe on soustrait les deux aires des triangles rectangles au lieu de les additionner.

A lire aussi :

• Théorème de Pythagore
• Aire et surface d’un triangle rectangle
• Surface et superficie d’un terrain : ares et hectares
• Surface et cercle : aire d’un disque
• Aire d’un carré

L’aire A d’un disque de rayon r est égale à :

A = π r ²

Ou en considérant le diamètre d du cercle plutôt que son rayon :

A = π / 4 x d ²

Exemple de calcul de l’aire d’un disque :

Soit un disque délimité par un cercle de rayon r = 2 cm.

L’aire A de ce disque est égale à :

A = π r ² ≈ 3,14 x 2² ≈ 12,56 cm²

A lire aussi :

• Périmètre – circonférence d’un cercle
• Le nombre Pi
• Surface et superficie d’un terrain : ares et hectares
• Volume d’un cylindre
• Aire et surface d’un triangle quelconque

π est un nombre constant dont la valeur est le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Sa valeur arrondie à 8 chiffres après la virgule est 3,14159265.

Puisqu’il exprime un rapport en circonférence et diamètre d’un cercle, π ne dépend pas de la taille de ce cercle. Le nombre π ne peut pas être exprimé comme un rapport de deux nombres entiers, son écriture n’est donc ni finie, ni périodique.

En 2000 av. JC, les Babyloniens connaissaient déjà π en tant que rapport entre circonférence et diamètre d’un cercle, mais c’est en 250 av. JC qu’Archimède a réellement commencé à calculer des décimales du nombre π en utilisant un algorithme.

A lire aussi :

• Périmètre – circonférence d’un cercle
• Surface et cercle : aire d’un disque
• Volume d’un cylindre

V = c³

Principe de calcul du volume d’un cube

Un cube est un parallélépipède rectangle particulier dont la longueur, la largeur et la hauteur sont de même longueur.

En appelant cette longueur c et sur la base de la formule de calcul du volume d’un parallélépipède rectangle on a donc :

V = L x l x h = c x c x c = c³

Exemple de calcul du volume d’un cube

Soit un cube dont la mesure de la longueur d’un côté est c = 4 cm. Le volume V de ce cube est égal à :

V = 4³ = 64 cm³

A lire aussi :

• Volume d’un parallélépipède rectangle
• Unités de volume

P = d x π = 2r x π

Principe du calcul de la circonférence d’un cercle

Le périmètre d’une figure plane correspond à la longueur du bord de cette figure. Le terme périmètre s’applique donc à un disque alors que pour un cercle on parlera plutôt de circonférence ou de longueur.

Un cercle est défini par son centre A et son rayon r. Le diamètre d du cercle correspond à deux fois son rayon r.

La circonférence P du cercle de rayon r et de diamètre d est égale à :

P = d x π = 2r x π

Exemple de calcul de la circonférence d’un cercle

Soit un cercle de centre A et de rayon r = 2 cm.

Son diamètre d est égal à :

d = 2r = 4 cm

Sa circonférence P est égale à :

P = d x π ≈ d x 3,14 ≈ 12,56 cm

A lire aussi :

• Surface et cercle : aire d’un disque
• Le nombre Pi
• Volume d’un cylindre

Le Volume V d’un parallélépipède rectangle de longueur L, de largeur l et de hauteur h est égal à :

V = L x l x h

Principe de calcul du volume d’un parallélépipède rectangle

Le volume d’un objet mesure son extension dans l’espace dans les trois directions en même temps.

Pour calculer le volume d’un parallélépipède rectangle, on multiplie donc l’aire du rectangle qui forme sa base (le côté sur lequel le parallélépipède repose) par la hauteur de ce parallélépipède rectangle.

L’aire A du rectangle qui forme la base du parallélépipède rectangle est égale à :

A = L x l

Le volume V du parallélépipède rectangle est donc égal à :

V = A x h = L x l x h

Remarque : dans le calcul la longueur L, la largeur l et la hauteur h du parallélépipède doivent être exprimées dans la même unité de longueur. Le volume sera alors exprimé dans cette même unité au cube.

Exemple

Soit un parallélépipède rectangle de longueur L = 5 cm, de largeur l = 3 cm et de hauteur h = 2 cm.

Sont volume V est égal à :

V = L x l x h = 5 x 3 x 2 = 30 cm³

A lire aussi :

• Théorème de Pythagore
• Volume d’un cube
• Aire et surface d’un triangle rectangle
• Aire d’un rectangle
• Périmètre d’un rectangle

A = L x l / 2

 Principe de calcul de l’aire d’un triangle rectangle

Un triangle rectangle correspond à la représentation de la moitié d’un rectangle. Pour calculer l’aire ou la surface de ce triangle rectangle, il suffit donc de calculer l’aire du rectangle (longueur L fois largeur l) et de diviser la valeur obtenue par 2.

Exemple

Soit un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit ont des longueurs de L =6 cm et l = 3 cm.

L’aire A du triangle rectangle est égale à :

A = L x l / 2 = 6 x 3 / 2 = 9 cm²

A lire aussi :

• Théorème de Pythagore
• Aire et surface d’un triangle quelconque
• Aire d’un rectangle
• Surface et superficie d’un terrain : ares et hectares
• Surface et cercle : aire d’un disque