Aire et surface d’un cylindre creux

Soit un cylindre creux ayant pour hauteur h, pour rayon extérieur R et pour rayon intérieur r.

L’aire A1 correspondant à la surface latérale (ou partie courbe) de ce cylindre est calculée à partir de la formule suivante :

A1 = 2πh (R + r)

L’aire A2 correspondant à la surface extérieure totale (surface latérale et extrémités) de ce cylindre creux est calculée à partir de la formule suivante :

A2 = 2π (h (Rr) + (R² – r²))


En considérant le diamètre extérieur D et le diamètre intérieur d plutôt que les rayons (sachant que D = 2R et d = 2r), les formules de calcul pour l’aire d’un cylindre creux deviennent :

A1 = πh (D + d)

A2 = π (h (D + d) + 1/2 (D² – d²))

Aire d'un cylindre creux

Remarque :
La hauteur, les diamètres et les rayons du cylindre creux doivent être exprimés dans la même unité de longueur (par exemple en centimètres). L’aire du cylindre creux sera alors exprimée dans cette même unité au carré (des cm² dans notre exemple).

Principe de calcul de l’aire d’un cylindre creux

Aire de la partie courbe ou surface latérale d’un cylindre creux :

La surface latérale du cylindre creux correspond à la somme des aires :

  • d’un rectangle dont la hauteur est h et la largeur est égale à la circonférence du cercle de rayon R (surface latérale extérieure).
  • d’un rectangle dont la hauteur est h et la largeur est égale à la circonférence du cercle de rayon r (surface latérale intérieure correspondant au creux du cylindre).

En appliquant la formule pour le calcul de la circonférence d’un cercle (2πr ou πd)  et celle pour le calcul de l’aire d’un rectangle (hauteur x largeur) on obtient donc pour le calcul de l’aire A1 de la surface latérale d’un cylindre :

A1 = 2πR x h + 2πr x h = 2πh (R + r)

ou en considérant les diamètres du cylindre creux (R = R/2 et r = d/2) :

A1 = πh (D + d)

Surface totale du cylindre creux :

La surface totale d’un cylindre creux est la somme de la surface latérale (intérieure et extérieure) et de la surface des deux extrémités de ce cylindre.

L’aire d’une extrémité de ce cylindre creux correspond à l’aire d’une couronne circulaire, soit π (R² – r²) ou π/4 (D² – d²). Ce résultat est à multiplier par 2 pour tenir compte des deux couronnes circulaires composant les deux extrémités du cylindre.

L’aire A2 représentant la surface totale d’un cylindre creux se calcule donc à partir de la formule suivante :

A2 = A1 + 2π (R² – r²)

=> A2 = 2πh (R + r) + 2π (R² – r²)

=> A2 = 2π (h (R + r) + (R² – r²))

ou en considérant les diamètres du cylindre creux (RD/2 et r = d/2) :

A2 = A1 + 2π/4 (D² – d²)

=> A2 = πh (D + d) + π/2 (D² – d²)

=> A2 = π (h (D + d) + 1/2 (D² – d²))

Exemple

Soit un cylindre creux dont la hauteur h est de 3 cm. Son diamètre extérieur D est de 2 cm, et son diamètre intérieur d de 1,3 cm..

L’aire A1 correspondant à la surface latérale de ce cylindre creux est égale à :

A1 = πh (D + d)

=> A1 = 9,9π ≈ 31,1 cm²

L’aire A2 correspondant à la surface extérieure totale de ce cylindre creux est égale à :

A2 = π (h (D + d) + 1/2 (D² – d²))

=> A2 = π (9,9 + 2.31/2)

=> A2 = 11,055π ≈ 34,73 cm²

Aire d'un cylindre creux - Exemple

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